Investigación de Operaciones II

25 de mayo de 2011

REGLAS DE ORO EN LA GESTIÓN DE INVENTARIO

Cuando se hace parte del área de Inventarios de una empresa es importante tener en cuenta los siguientes aspectos:

1. Las tablas de Entrada y Salida de inventario deben estar dibidamente documentadas.

2. Todo Item (elemento que está guardado en inventario), debe estar debidamente codificado. Para esto se tiene en cuenta Ubicación (General) y Localización (Específica).

3. En cuanto sea posible todos los items deben estar guardados en el mismo lugar.

4. Nunca jamás recibir comisiones de algún proveedor.

5. En cuanto sea posible el lugar físico donde se efectúe la recepción de materiales debe ser diferente de donde se hace la salida.

6. Los items deben ser almacenados en orden con respecto a su peso, es decir, los más livianos arriba y los más pesados abajo.

7. Ningún miembro del equipo del almacén se puede ir hasta que no haya un conteo físico de los items que se movieron ese día.

8. Los items deben ser contados por 3 auditores diferentes y se consigna aquella lectura que sea coicidente entre al menos dos de ellos.

9. El punto más lejos donde debe haber un extintor en el almacen es máximo cada 10 metros.

10. Los reportes de inventario deben estar listos como máximo 3 días después del cierre.

PUNTO DE REORDEN CON DEMANDA PROBABILÌSTICA (MODELO EOQ)

El punto de Reorden r es un factor que sirve para garantizar que el de inventario manejado por la empresa en el almacen satisfaga el nivel de servicio al cliente. Para esto se debe tener en cuenta un Stock o inventario de seguridad dado por un factor estocàstico definido como:

Donde sigma t representa la desviación estándar del producto en el tiempo de entrega o:

Cuando no se conoce la desviaión del tiempo de entrega, o no son iguales los períodos dados de la demanda y del tiempo de entrega, se resuelve diviendo ambos períodos como se mostró en la anterior ecuación.

Este ùltimo se usa para cubrir las variaciones en la demanda, ademàs de prever situaciones tales como: faltas del proveedor, mal manejo de materiales, etc. Además de ello representan niveles de inventario que cubran la variabilidad de la demanda, así como ajustar las demás variables de manera que se vuelvan irrelevantes. A pesar de ello, la mayor incertidumbre es causada por los clientes debido a que sus requerimientos son difíciles de predecir.

La fórmula de Punto de reorden se muestra a continuación:

Ejemplo:

A partir de los siguientes parámetros estocástico de la demanda de focos, una empresa decide definir un Punto de Reorden adecuado para cumplir con los requerimientos de sus clientes.

La demanda en 1 semana presenta una distribución gaussiana de media 154 focos/semana y desviación estándar de 25 Focos/semana.

En primera instancia calculamos el EOQ con la demanda semanal promedio 154 focos. Entonces tendremos que:

No obstante, hay que tener en cuenta que estas unidades sólo suplen la media de la demanda, es decir el percentil de 50%. Pero ello quiere decir que no tendremos existencias para suplir aquellas que superen el valor medio.

El director de Operaciones de la empresa sugiere la política de permitir que sólo fallen en 1 pedido. Entonces debemos determinar el número de pedidos ideal. Esto es:

Ahora, considerando la política optada tendremos que el nivel de significancia será:

A partir de lo anterior tendremos que el Punto de

La empresa debe encargar a su proveedor cada vez que haya sólo 195 unidades en almacen.

REFERENCIAS

(1) HILLIER, Frederick S., LIEBERMAN, Gerald J. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: McGraw-Hill, 2002. Teoría de Inventarios: Páginas 935-987.

(2) TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: Prentice Hall, 2004. Modelos Determinísticos de Inventario. Páginas 429-440.

(3) GONZÁLEZ, Medardo. Clases Presenciales: Modelos de Inventario. Investigación de Operaciones II. Universidad del Atlántico. Febrero de 2011.

20 de marzo de 2011

Modelo de EOQ con Descuento por Cantidades

Hasta este momento se han analizado los costos en que se incurre por pedir o por producir con una demanda constante, ya sea permitiendo o no faltantes en nuestros parámetros de inventario; asumiendo además que para el caso de producir la rata de producción debe ser mayor que la demanda del período. Esto dejando a un lado el efecto del costo unitario que se mantiene fijo en el tiempo y no varía si hay alguna modificación en la cantidad a pedir o producir. Dicho efecto no debe dejarse a un lado, ya que muchas empresas trabajan bajo este criterio, siempre, cuando se varía el nivel de pedido habrá un descuento adicional sobre el costo del mismo. Es por esto que a continuación se hablará acerca del Modelo EOQ con Descuento por Cantidades. Para ello se palnteará la siguiente situación.

Suponga que una empresa informática se dedica a la venta de computadores y actualmente no cuenta con un modelo de inventario óptimo. En estos momentos trata de determinar cómo minimizar los costos anuales relacionados con la compra de tarjetas de video para los computadores. Cada vez que se hace un pedido se incurre en un costo de $20. El precio de las taretas depende del número pedido de ellas. Si el costo anual de almacenamiento es de 20% del valor de inventario y la empresa demanda 80 tarjetas al mes, ¿cuál es la cantidad óptima de pedido? ¿cuál es el Costo Total Anual mínimo? ¿Cuál es la cantidad óptima anual? y ¿cuál es el período por pedido según las cantidades anuales?

Este tipo de situación es común cuando se compra al por mayor, para esto se debe analizar según los parámetros del modelo EOQ.

La siguiente tabla muestra los descuentos según el volumen pedido:

A partir de lo anterior se analizan las cantidades óptimas por pedido (se asume que no se aceptan faltantes) para cada descuento, siempre y cuando se tenga en cuenta lo siguiente:

- La cantidad óptima de pedido será aquella que, al momento de calcular las cantidades a partir del modelo adecuado y según los costos unitarios de cada descuento, este valor se halle dentro del rango de cantidades especificado (en la tabla, la primera columna). Caso contrario, si dicho valor no se encuentra en su rango especificado, se dice que No Cumple para el período, y la cantidad óptima será el valor más cercano a su límite de especificación.

Los datos conocidos son:

Cp = $20/pedido

Cmi = 20% Cu

d = 80 tarj/mes * 12meses/1año = 960 tajertas/año

Así, se procede en primera instancia a calcular las cantidades óptimas para cada rango especificado en la tabla, esto es:

Los comentarios en paréntesis están relacionados al criterio antes señalado, y nos permite concluir que la cantidad óptima de pedido en un período es de 139 tarjetas de video.

No obstante, no siempre la cantidad óptima de pedido para un período representa la cantidad que minimiza los Costos Totales Anuales. Recordemos que la cantidad óptima de pedido sólo permite que los costos de pedir y de mantener en inventario sean iguales, y si el costo unitario es constante, esta llega a ser la cantidad adecuada para optimizar. Pero, en esta situación, la variación de los costos unitarios generan un segundo enfoque, ya que dependerá principalmente de la relación cantidad-precio unitario. Con base en ello debe resolver la función CTA para las tres cantidades óptimas optenidas anteriormente. Esto es:

Así tendremos que:

A partir de los resultados obtenidos, podrmos apreciar que el Costo Total Anual mínimo es el incurrido cuando se toman pedidos de 300 tarjetas y es de $9766,00.

Por otro lado, analizando el comportamiento de los costos nos podemos dar cuenta que:

- A medida que se pide una cantidad mayor la diferencia entre los costos de pedir y de mantener en inventario es cada vez más grande, siendo los costos de mantener por obvias razones la que aumente y de pedir el que disminuye.

Finalmente, conociendo la Cantidad óptima anual, podemos determinar el período para cuando son más de un pedido. Así tendremos que:

Como se pudo apreciar, el modelo de EOQ con Descuentos por Cantidades representa una herramienta útil cuando existe un porcentaje de reducción en el costo unitario de los artículos que se ordenan. Análogamente al EOQ con y sin faltantes, se manejan los mismos parámetros de evaluación, la diferencia radica en que se debe hacer un análisis para cada uno de los precios unitarios especificados por el proveedor tanto para establecer la cantidad óptima en un pedido, como para establecer la cantidad óptima anual y los Costos Totales Anuales mínimos, siendo los últimos los más representativos para cualquier organización.

REFERENCIAS

(1) HILLIER, Frederick S., LIEBERMAN, Gerald J. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: McGraw-Hill, 2002. Teoría de Inventarios: Páginas 935-987.

(2) TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: Prentice Hall, 2004. Modelos Determinísticos de Inventario. Páginas 429-440.

(3) GONZÁLEZ, Medardo. Clases Presenciales: Modelos de Inventario. Investigación de Operaciones II. Universidad del Atlántico. Febrero de 2011.

Modelo de Lote Económico de Producción (LEP) Con Faltantes

Para este caso se manejan los mismo parámetros establecidos en el modelo de LEP sin faltantes, entre ellos se debe cumplir que la rata de producción (R) sea mayor que la demanda (D), además de incluir un costo por los artículos o unidades faltantes en los costos totales. Además de ello, se debe considerar dos nuevos períodos que son el perído desde que se agota el inventario y empieza haber faltantes y otro que se considera como el tiempo en que se nivelan dichos faltantes. A continuación se muestra el gráfico que ilustra lo dicho anteriormente:

Donde:

R: rata o radio de producción
d: Demanda del período
t1: Período de producción hasta el inventario máximo
t2: Período en que la demanda consume el inventario máximo
t3: Período en se comienza a incurrir en pedidos en espera
t4: Período en que se sustentan todos los pedidos atrasados del período anterior

Teniendo en cuenta esto, nuestra función de costos para un período es:

Siendo Cf el costo por faltantes.

A partir de la gráfica antes señalada se obtienen por relación de triángulos las siguientes ecuaciones

Teniendo en cuenta esto, se deben expresar los Costos totales en función de las variables conocidas, es decir, Q y S. Utilizando este sistema de ecuaciones tendremos que:

Despejando t3 y t4 de (3) y (4), y posteriormente sumándolas tendremos que:

Ahora, si se considera que:

Entonces despejando la suma de t1 más t2, nos quedará que:

Siendo t1 igual a:

Con este lograremos deducir Imáx:

Con base en esto podemos deducir la siguiente Función de Costos por período:

De la misma forma como en los modelos anteriores proseguimos con la determinación del Costo Total anual multiplicando la expresión por N, esto es:

Lo importante sería optimizar la función para determinar cuales serían nuestas cantidades óptimas a producir y cual sería el nivel tanto de inventarios como de faltantes que nos proporcionarían los Costos mínimos en un período dado. Con base en este análisis, y teniendo en cuenta que la función de Costos depende de Q y S. Para ello primero consideramos la derivada parcial con respecto a S así:

Asimismo, igualando a cero la expresión y despejando a Q tendremos que:

Se procede con la derivada parcial con respecto a Q y esto es:

Igualando a cero y despejando S cuadrado, esto es:

Ahora, reemplazando en la expresión el Q hallado anteriormente y simplificando la expresión, nos quedará lo siguiente:

Con lo cual nos queda que nuestro S óptimo será:

Reemplazando esta expresión en el Q hallado previamente nos permitirá encontrar nuestra candidad óptima por corrida de producción, esta es:

A partir de estos también podremos deducir nuestro Período óptimo en que incurre este modelo, así como el Inventario máximo:

24 de febrero de 2011

Modelo LEP (Lote Económico de Producción) Sin Faltantes

Para este modelo siguen los mismo supuestos, volvemos con la consideración de NO aceptar faltantes. En este caso, se tendrá en cuenta una rata de producción (R) que no es más que el promedio de unidades producidas en un período específico, la cual se mantiene constante. Además, dicha rata de producción es mayor que la demanda en dicho período, por lo cual cuando se satisface a esta última quedan sobrantes en inventario. En este momento no se asumira un costo de adquisición a menos que se acaben las existencias. Esto sucede periódicamente. En la siguiente gráfica puede verse el compartamiento de las existencias a través del tiempo.

Deduciendo de la gráfica tendremos que:

En este modelo, se hace referencia a los niveles de producción, entonces se hablará de costos por Orden de Producción (Cop) como aquel que repercute por mandar a fabricar una cantidad dada de producto en vez de lo que se consideraba como costo de pedido en los modelos previos. Teniendo en cuenta esto, tenemos que el Costo total en un período está dado por:

No obstante, considerando todo en función de la variable Q tendremos que deducir de la gráfica que:

Reemplazando en la función de Costo total de un período:

De la misma forma como hemos trabajado, calculamos la función de Costo Total en un período prolongado, por ejemplo anualmente, y tendremos que:

Asimismo procedemos a determinar la cantidad óptima Q* a partir de la función CTA, para esto derivamos, igualamos a cero y despejamos la variable señalada. Esto es:

Modelo EOQ Con Faltantes

Este modelo considera los mismos supuesto que el modelo EOQ Sin faltante, en lo único que difiere es que éste SI admite faltantes. En este caso se supone que el productor no puede abastecer completamente a la demanda en un período específico de tiempo, y para esto pide una extensión del plazo a los consumidores mientras se vuelve a abastecer (llenar el inventario), si este último acepta la prórroga de la entrega de su mercancia, debemos actuar bajo los preceptos del Modelo EOQ Con Faltantes.

A continuación se muestra la interpretación gráfica de este modelo.

A este tipo de Modelo se atribuyen costos igualmente por adquisición, por pedidos, por inventario, pero además de ellos también se entra a considerar un costo por faltantes denotado como Cf. No obstante, en la gráfica se aprecia que despejar todo en función de la cantidad Q no es la manera más apropiada para hallar la función de Costos de un pedido en un período, para esto se debe trabajar en función de las variables Q y S, tenemos que la función está dada por:

Donde Imáx es el inventario máximo en un solo período. Así mismo, a partir de la gráfica podemos deducir las siguientes relaciones:

Teniendo en cuenta lo anterior, reemplazamos en la función de costos de un pedido obteniendo:

Asimismo, multiplicando esta expresión por N podemos determinar el Costo total en un tiempo prolongado, por ejemplo anual. Esto es:

Como lo que verdaderamente nos interesa es encontrar las cantidades de Q y S óptimas (las que generen los costos mínimos en cada caso), debemos determinar a partir de las derivadas parciales de cada variable independiente igualada a cero, un sistema de ecuaciones para hallarlas en dicho escenario óptimo. Tendremos que:

Desarrollando (2) con (2Q^2) como mínimo común denominador, así como Q y (Q-S) de (1) de nos queda:

Reemplazando Q y (Q-S) en (3) podemos despejar nuestra S óptima, la cual está dada por:

Reemplazando la S* hallada podemos calcular nuestra Q óptima, dada por:

23 de febrero de 2011

Modelo EOQ Sin Faltantes

Para el desarrollo de este modelo se tienen en cuenta varios supuestos:

La Demanda es constante, es decir que se conoce la tasa de demanda.
No se admiten faltantes.
Se le atribuye un costo por mantener guardado, es decir un costo por inventario.
Tiene un costo de Pedido.
Todos los costos se mantienen constantes.
La reposición es instantánea, esto es que NO existe un tiempo en el que el pedido se demora, es decir se reabastece inmediatamente cuando este llega a cero.

Bajo estos supuestos se puede graficar de la siguiente forma:

En donde Q es la cantidad o inventario máximo por pedido, D la demanda y t es la cantidad por demanda en un tiempo específico. Por otro lado, el área sombreada representa el costo en que se incurre por mantener guardado cierta cantidad de productos en un tiempo dado. Este a su vez varía según los períodos, por lo cual se determina un promedio que involucre a todos estos.

Es importante determinar los costos en los cuales se incurre por realizar dicha actividad, ya que, son estos los que nos van a proporcionar la información relevantes para la toma de decisiones. Para evaluar esto con base en el modelo EOQ, se hace referencia a la Función de Costo de un pedido, la cual determina un Costo en función de las cantidades que consume la demanda en un período. La función está definida como:

Donde Cu representa los costos de adquisición, Cp los costos por hacer un pedido y C_MI los costos de inventario.

Además de ello, se debe hacer mención al número de períodos que se hacen en un tiempo, relacionado más que todo, al consumo en un lapso de tiempo prolongado, por ejemplo, un año. Entonces:

Para lo cual N es el número de períodos.

Lo anterior nos permite analizar el comportamiento de los costos asumidos por la actividad en períodos extensos. Con base en el modelo EOQ, donde nuestra única variable independiente es la Cantidad, podemos determinar un Costo total, multiplicando la Función de pedido por N. Así para un caso en concreto tendremos que el Costo Total Anual por pedidos CTA(Q) es:

Ahora bien, la relevancia de estos modelados matemáticos no es tan sólo determinar el costo total de la actividad, se debe pretender encontrar una solución óptima que mejor satisfaga nuestras expectativas como productores. En este caso, se debe optimizar la función con el propósito de Minimizar los costos y así obtener los mayores beneficios. Para esto se debe derivar la función CTA (Q) con respecto a las cantidades Q, igualando a cero y despejándola para obtener la cantidad óptima que se debe tener en inventario.

Despejando Q:

Donde Q* representa la cantidad óptima, y depende principalmente de Cp y C_MI. Con respecto a esto se deben hacer las siguientes consideraciones:

1. Cuando la cantidad que se elige es MENOR que la óptima, se puede apreciar que los costos de mantener en inventarios son menores que los generados por los costos por pedido. Esto es:

Cp > C_MI

2. Si se elige la cantidad óptima se igualan los costos de inventario y de pedido.

Cp = C_MI

3. Si se elige una cantidad MAYOR los costos por pedido tienden a ser menores que los generados por los inventarios.

Cp < C_MI