Estrategias Aleatorizadas

Los juegos con estrategias aleatorizadas no poseen puntos de silla, esto quiere decir que para cualquier decisión de estrategias hay un jugador que puede beneficiarse cambiando estrategia unilateralmente. De hecho estos son mucho más frecuentes en la práctica.

En este juego se deben determinar las estrategias óptimas y el valor de este juego. Para ello se debe ampliar el número de estrategias posibles, es decir, se permitirá que un jugador opte por estrategias concretas en una proporción determinada de casos, que llamaremos probabilidades. A esto se conoce como Estrategias aleatorizadas o mixtas. Para alcanzar el valor del juego existen varios procedimientos que sirven para su estimación, entre ellos el método gráfico o en caso de ser un sistema más complejo podremos utilizar el Método Simplex.

Ejemplo:

Se plantea la siguiente matriz de pagos, en la cual el jugador 1 tiene una probabilidad de 3/4 de escoger la estrategia I y de 1/4 de escoger la estrategia 2. Además, el jugador 2, tendrá probabilidades de 1/3 y 2/3 para las estrategias I y II, respectivamente, para este.

Para asegurar la aleatoriedad de la decisión tomada por cada jugador, puede simularse la utilización de una ruleta por parte de ellos. Por ejemplo en el caso del jugador 2, esto es:

Esto quiere decir que, en cualquier momento que le toque al jugador 2 su turno, este tendrá que hacer girar la ruleta y según donde caiga la flecha escogerá su estrategia.

Por otro lado, para encontrar el valor esperado del juego se debe proceder de la siguiente forma:

Primero. Se determina el valor esperado para cada una de las estrategias de cualquiera de los dos jugadores esto es:

Lo que se resume en que si el jugador 2 escoge atacar con la estrategia 1, estará dispuesto a ganar 2, mientras que si decide jugar con la estrategia 2, este perderá siempre 1/4.

Así como el anterior, también pueden variarse las probabilidades y escogerse las probabilidades cualesquiera que sean y de esta manera determinar el valor del juego para cada estrategia.

No obstante, el comportamieto del juego está caracterizado por la determinación de las probabilidades que maximizan a cada jugador sus posibilidades de ganar. Si en caso tal dicho valor es encontrado por ambos jugadores, siempre habrá un empate. Esto se resolverá a partir del método gráfica de la siguiente forma.

Para estrategia I. Se sabe que la suma de las probabilidades es igual a 1, por lo que:

Para la estrategia 2. Igual que para uno se determinan los mismo parámetros. Esto es:

Ahora trazamos la gráfica de ambas rectas sobre un plano que tendrá como ejes el valor esperado y la probabilidad P1 esto es:

Como se puede apreciar el punto de probabilidad P1 que maximiza las ganancias del jugador 2, está entre 0.5 y 0.6. Para determinar exactamente este valor, debe resolver el sistema de ecuación compuesto por las funciones determinadas de valor esperado para ambas estrategias de dicho jugador. Entonces tendremos que:

Resolviendo por cualquier método de resolución de ecuación se obtiene que:

Y a partir de la ley de probabilidades entonces:

El valor esperado del Juego se conseguirá sólo reemplazando el valor de P1 en cualquiera de las expresiones denotadas anteriormente. Esto es:

Esto quiere decir que, si ambos jugadores determinan las probabilidades de acciones de cada uno de sus estrategias, ambos tendran la posibilidad de ganar 13/11. Esto representará entonces un juego equilibrado.




REFERENCIAS

(1) HILLIER, Frederick; LIEBERMAN, Gerald. Teoría de Juegos. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: Mc Graw-Hill, 2002. Páginas 726-743.

(1) TUROCY, Theodore. STENGEL Bernhard. Game Theory. London School of Economy. [PDF] [En línea] {Disponible en: http://www.cdam.lse.ac.uk/Reports/Files/cdam-2001-09.pdf } [Acceso: Junio 3 de 2011]

Teoría de Juegos

La teoría de juegos como tal fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann (1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su libro “The Theory of Games Behavior”. Anteriormente los economistas Cournot y Edgeworth habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos (1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas.

Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima. En la segunda parte, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta optima en  juegos con muchos jugadores. Puesto que este es un problema mucho más difícil, sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores.

DEFINICIONES

1. JUEGO
Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades.

2. ESTRATÉGIA.
Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.

3. VALOR DEL JUEGO.
El valor de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. Se denomina valor de equilibrio si ningún jugador puede mejorar su utilidad unilateralmente dado que los otros jugadores se mantienen en sus estrategias. Un equilibrio estratégico es aquel que se obtiene cuando, dado que cada jugador se mantiene en su estrategia, ningún jugador puede mejorar su utilidad cambiando de estrategia. Alternativamente, un perfil de estrategias conforma un equilibrio si las estrategias conforman la mejor respuesta a las otras.

4. MATRIZ DE PAGO. Una matriz de pago es aquella que muestra los resultados correspondientes a todas las combinaciones de alternativas de decisión y estados de la naturaleza. Las entradas de la matriz de pago además, se pueden cuantificar en términos de utilidad, costo, tiempo o cualquier otra medida de resultado que pudiera ser apropiada para la situación a analizar.

A continuación se muestra una matriz de pago:

 Donde:
J1 representa el jugador fila y J2 el jugador columna. Además tenemos que:

5. JUEGOS DE SUMA CERO
En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras palabras, un jugador se beneficia solamente a expensas de otros). El go, el ajedréz, el póker, entre otros, son ejemplos de juegos de suma cero, porque se gana exactamente la cantidad que pierde el oponente. Como curiosidad, el fútbol dejó hace unos años de ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el empate 1 (considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto), mientras que en la actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1.

Ahora se analizará una forma de desarrollar un juego y determinar su valor esperados, para ello se debe referirse al Criterio de Minimáx y Máximini, que es entre otras cosas fundamentado en el hecho de que un jugador tendrá un cristerio optimista, pesimista o aquel que disminuye sus riesgos en términos de pérdidas relativas o pérdidas de oportunidad.

Por ejemplo, se plantea la siguiente matriz de pagos,


Siendo I y II las respectivas estrategias para cada jugador.

Primero que todo se verifica si el juego es estrictamente determinado, para ello se suman los elementos de la matriz, este debe ser igual a cero. Después de ello se procede a conseguir los valores mínimos para cada fila y los valores máximos para las columnas, así: 

Para hallar el valor del juego se deben conseguir los mínimos con respecto a cada fila y los máxi



El valor del juego se determina trazando 2 rectas sobre los números que son iguales entre los hallados anteriormente:

A partir de lo anterior se ha determinado el valor del juego el cual es igual a 2. En este las estrategias adecuadas a emplear serán la I por parte del Jugador 1 y la II por parte del jugador 2. Podemos ver además que las ganancias de un jugador son las pérdidas del otro y se dice que no es un juego justo ya que un jugador tiene más posibilidades de ganar que otro.

Otro ejemplo, es aquel donde el juego NO es estrictamente determinado.

Como se puede apreciar la suma de los elementos no es igual a cero y ningún valor mínimos ni máximo es igual, es un claro ejemplo de juego no estrictamente determinado.

Por otro lado también es importante conocer el concepto de Estrategia Dominante, también conocida como dominancia. Cuando la estrategia de uno de los jugadores es provechosa para él, independiente de la estrategia del jugador oponente. Las estrategias dominantes dan como resultado final el equilibrio de las estrategias dominantes en el juego. En un juego en el que cada uno de los jugadores tenta una estrategia dominante el resultado final es predecible. Lo contrario de la situación de estrategia dominante se denomina intransitividad y se caracteriza porque una estrategia puede ser mejor o peor que la del jugador oponente dependiendo de las opciones e información que posea.

Como ejemplo se plantea la siguiente matriz y su resolución:

Donde cada uno de los números romanos representa las estrategias para cada jugador.

En primera instancia, como la estrategia 1 tiene dominancia sobre la 3, se elimina la fila de dicha estrategia así:

Entonces esto queda como:

 Ahora para el J1 todas las estrategias son válidad. En relación al jugador columna, podemos apreciar que la estrategia 2 domina la estrategia 3, por lo que debemos eliminar esta última columna.

Asimismo, tanto la estrategia 2 y la 4 tienen dominancia sobre la estrategia 5, por lo que también se elimina dicha columna.

Además como la estrategia don presenta dominancia tanto para la estrategia 4 como la 6, entonces se eliminan ambas columnas.

Con el procedimiento anterior se ha reducido el juego a una matriz de pagos 3x2.





REFERENCIAS

(1) HILLIER, Frederick; LIEBERMAN, Gerald. Teoría de Juegos. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: Mc Graw-Hill, 2002. Páginas 726-743.

(1) TUROCY, Theodore. STENGEL Bernhard. Game Theory. London School of Economy. [PDF] [En línea] {Disponible en: http://www.cdam.lse.ac.uk/Reports/Files/cdam-2001-09.pdf } [Acceso: Junio 3 de 2011]