Modelo de Lote Económico de Producción (LEP) Con Faltantes

Para este caso se manejan los mismo parámetros establecidos en el modelo de LEP sin faltantes, entre ellos se debe cumplir que la rata de producción (R) sea mayor que la demanda (D), además de incluir un costo por los artículos o unidades faltantes en los costos totales. Además de ello, se debe considerar dos nuevos períodos que son el perído desde que se agota el inventario y empieza haber faltantes y otro que se considera como el tiempo en que se nivelan dichos faltantes. A continuación se muestra el gráfico que ilustra lo dicho anteriormente:

Donde:

R: rata o radio de producción
d: Demanda del período
t1: Período de producción hasta el inventario máximo
t2: Período en que la demanda consume el inventario máximo
t3: Período en se comienza a incurrir en pedidos en espera
t4: Período en que se sustentan todos los pedidos atrasados del período anterior

Teniendo en cuenta esto, nuestra función de costos para un período es:

Siendo Cf  el costo por faltantes.

A partir de la gráfica antes señalada se obtienen por relación de triángulos las siguientes ecuaciones

Teniendo en cuenta esto, se deben expresar los Costos totales en función de las variables conocidas, es decir, Q y S. Utilizando este sistema de ecuaciones tendremos que:

Despejando t3 y t4 de (3) y (4), y posteriormente sumándolas tendremos que:

Ahora, si se considera que:

Entonces despejando la suma de t1 más t2, nos quedará que:

Siendo t1 igual a:

Con este lograremos deducir  Imáx:

Con base en esto podemos deducir la siguiente Función de Costos por período:

 De la misma forma como en los modelos anteriores proseguimos con la determinación del Costo Total anual multiplicando la expresión por N, esto es:

Lo importante sería optimizar la función para determinar cuales serían nuestas cantidades óptimas a producir y cual sería el nivel tanto de inventarios como de faltantes que nos proporcionarían los Costos mínimos en un período dado. Con base en este análisis, y teniendo en cuenta que la función de Costos depende de Q y S. Para ello primero consideramos la derivada parcial con respecto a S así:

Asimismo, igualando a cero la expresión y despejando a Q tendremos que:

 Se procede con la derivada parcial con respecto a Q y esto es:

Igualando a cero y despejando S cuadrado, esto es:

Ahora, reemplazando en la expresión el Q hallado anteriormente y simplificando la expresión, nos quedará lo siguiente:

Con lo cual nos queda que nuestro S óptimo será:

Reemplazando esta expresión en el Q hallado previamente nos permitirá encontrar nuestra candidad óptima por corrida de producción, esta es:

A partir de estos también podremos deducir nuestro Período óptimo en que incurre este modelo, así como el Inventario máximo:

REFERENCIAS

(1) HILLIER, Frederick S., LIEBERMAN, Gerald J. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: McGraw-Hill, 2002. Teoría de Inventarios: Páginas 935-987.

(2) TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: Prentice Hall, 2004. Modelos Determinísticos de Inventario. Páginas 429-440.

(3) GONZÁLEZ, Medardo. Clases Presenciales: Modelos de Inventario. Investigación de Operaciones II. Universidad del Atlántico. Febrero de 2011.