Los Inventarios representan un importante factor de control para el flujo operativo de una actividad. Estos existen debido al hecho de que NO hay una respuesta inmediata de los suministros por parte de los proveedores, que garanticen una dinámica estable en la Cadena Logística. Esta última, encierra en un todo, cada una de las operaciones fundamentales de una empresa, desde la obtención de la Materia prima, fabricación y almacenamiento, hasta la distribución del producto final a los mercados. Pero, ¿cómo atribuir inventarios a cada uno de estos procesos?
A continuación se muestra un esquema que simplifica lo explicado anteriormente, además de relacionar cada subdivisión de la Cadena Logística con sus correspondientes Inventarios:
Como podemos apreciar, cada eslabón de la cadena genera por cuenta propia un tipo de inventario diferente. Por este simple hecho, se hace indispensable desarrollar una visión crítica al estudio de los inventarios, así como de las principales ventajas y desventajas que ello conlleva. De esta forma entramos a analizar los diferentes Modelos utilizados para este fin, no sin antes dar unos conceptos previos:
Demanda: es el consumo en un determinado tiempo, también conocido como Potencial de Consumo.
Consumo: es la sumatoria de todas las demandas históricas de un período prolongado de tiempo.
En el estudio de los modelos se tendrá en cuenta principalmente el concepto de Demanda, debido al hecho de que es esta la que determina el comportamiento de los inventarios en un período de tiempo específico. Además de ello, para describir los modelos se debe hacer hincapié en el tipo de demanda, ya sea dependiente, si se tiene en cuenta la cantidad por pedido, o si es independiente, si las cantidades dependen de las demandas independientes, es decir, netamente aquellos que salen de los requerimientos del mercado (Necesidades), que a su vez no se saben cuáles son a ciencia cierta. Estas últimas pueden ser constantes y variables. Los siguientes son los Modelos de Inventario más importantes según la Demanda:
>> CON DEMANDA INDEPENDIENTE CONSTANTE:
- EOQ (Economic Order Quatity o Cantidad de Pedido Económica), esta a su vez se encuentra divida en:
- Sin Faltantes
- Con Faltantes
- Con Descuento por Volumen
- LEP (Lote Económico de Pedido), este puede ser también:
- Sin Faltantes
- Con Faltantes
>> CON DEMANDA INDEPENDIENTE VARIABLE:
- EOQ con Demanda Probabilística o estocástica.
- Simulación.
- Revisión, este puede ser a su vez:
- Periódicos: SISTEMA P
- Cantidades: SISTEMA Q
- Heurístico, sobresalen de este los conocidos AMORTIGUADORES (BUFFERS) relacionado a la DMB ( Dynamic Management of Buffer).
>> CON DEMANDA DEPENDIENTE:
- MRP I y II (Material Requirement Plan o Plan de Requerimiento de Material).
El Objetivo fundamental de estos modelos es: determinar con qué frecuencia y en qué cantidad reabastecer el Inventario, de manera que se minimicen los costos (o sumas de costos) por unidad de tiempo.
MODELOS DE INVERIO
<<EOQ SIN FALTANTES>>
Para el desarrollo de este modelo se tienen en cuenta varios supuestos:
- La Demanda es constante, es decir que se conoce la tasa de demanda.
- No se admiten faltantes.
- Se le atribuye un costo por mantener guardado, es decir un costo por inventario.
- Tiene un costo de Pedido.
- Todos los costos se mantienen constantes.
- La reposición es instantánea, esto es que NO existe un tiempo en el que el pedido se demora, es decir se reabastece inmediatamente cuando este llega a cero.
En donde Q es la cantidad o inventario máximo por pedido, D la demanda y t es la cantidad por demanda en un tiempo específico. Por otro lado, el área sombreada representa el costo en que se incurre por mantener guardado cierta cantidad de productos en un tiempo dado. Este a su vez varía según los períodos, por lo cual se determina un promedio que involucre a todos estos.
Es importante determinar los costos en los cuales se incurre por realizar dicha actividad, ya que, son estos los que nos van a proporcionar la información relevantes para la toma de decisiones. Para evaluar esto con base en el modelo EOQ, se hace referencia a la Función de Costo de un pedido, la cual determina un Costo en función de las cantidades que consume la demanda en un período. La función está definida como:
Donde Cu representa los costos de adquisición, Cp los costos por hacer un pedido y CMI los costos de inventario.
Además de ello, se debe hacer mención al número de períodos que se hacen en un tiempo, relacionado más que todo, al consumo en un lapso de tiempo prolongado, por ejemplo, un año. Entonces:
Para lo cual N es el número de períodos.
Lo anterior nos permite analizar el comportamiento de los costos asumidos por la actividad en períodos extensos. Con base en el modelo EOQ, donde nuestra única variable independiente es la Cantidad, podemos determinar un Costo total, multiplicando la Función de pedido por N. Así para un caso en concreto tendremos que el Costo Total Anual por pedidos CTA(Q) es:
Ahora bien, la relevancia de estos modelados matemáticos no es tan sólo determinar el costo total de la actividad, se debe pretender encontrar una solución óptima que mejor satisfaga nuestras expectativas como productores. En este caso, se debe optimizar la función con el propósito de Minimizar los costos y así obtener los mayores beneficios. Para esto se debe derivar la función CTA (Q) con respecto a las cantidades Q, igualando a cero y despejándola para obtener la cantidad óptima que se debe tener en inventario.
1. Cuando la cantidad que se elige es MENOR que la óptima, se puede apreciar que los costos de mantener en inventarios son menores que los generados por los costos por pedido. Esto es:
Cp > CMI
2. Si se elige la cantidad óptima se igualan los costos de inventario y de pedido.
Cp = CMI
3. Si se elige una cantidad MAYOR los costos por pedido tienden a ser menores que los generados por los inventarios.
Cp < CMI
<<EOQ CON FALTANTES>>Este modelo considera los mismos supuesto que el modelo EOQ Sin faltante, en lo único que difiere es que éste SI admite faltantes. En este caso se supone que el productor no puede abastecer completamente a la demanda en un período específico de tiempo, y para esto pide una extensión del plazo a los consumidores mientras se vuelve a abastecer (llenar el inventario), si este último acepta la prórroga de la entrega de su mercancia, debemos actuar bajo los preceptos del Modelo EOQ Con Faltantes.
A continuación se muestra la interpretación gráfica de este modelo.
A este tipo de Modelo se atribuyen costos igualmente por adquisición, por pedidos, por inventario, pero además de ellos también se entra a considerar un costo por faltantes denotado como Cf. No obstante, en la gráfica se aprecia que despejar todo en función de la cantidad Q no es la manera más apropiada para hallar la función de Costos de un pedido en un período, para esto se debe trabajar en función de las variables Q y S, tenemos que la función está dada por:
Donde Imáx es el inventario máximo en un solo período. Así mismo, a partir de la gráfica podemos deducir las siguientes relaciones:
Teniendo en cuenta lo anterior, reemplazamos en la función de costos de un pedido obteniendo:
Asimismo, multiplicando esta expresión por N podemos determinar el Costo total en un tiempo prolongado, por ejemplo anual. Esto es:
Como lo que verdaderamente nos interesa es encontrar las cantidades de Q y S óptimas (las que generen los costos mínimos en cada caso), debemos determinar a partir de las derivadas parciales de cada variable independiente igualada a cero, un sistema de ecuaciones para hallarlas en dicho escenario óptimo. Tendremos que:
Desarrollando (2) con (2Q^2) como mínimo común denominador, así como Q y (Q-S) de (1) de nos queda:
Reemplazando Q y (Q-S) en (3) podemos despejar nuestra S óptima, la cual está dada por:
Reemplazando la S* hallada podemos calcular nuestra Q óptima, dada por:
<<LEP SIN FALTANTES (LOTE ECONÓMICO DE PRODUCCIÓN)>>
Para este modelo siguen los mismo supuestos, volvemos con la consideración de NO aceptar faltantes. En este caso, se tendrá en cuenta una rata de producción (R) que no es más que el promedio de unidades producidas en un período específico, la cual se mantiene constante. Además, dicha rata de producción es mayor que la demanda en dicho período, por lo cual cuando se satisface a esta última quedan sobrantes en inventario. En este momento no se asumira un costo de adquisición a menos que se acaben las existencias. Esto sucede periódicamente. En la siguiente gráfica puede verse el compartamiento de las existencias a través del tiempo.
Deduciendo de la gráfica tendremos que:
En este modelo, se hace referencia a los niveles de producción, entonces se hablará de costos por Orden de Producción (Cop) como aquel que repercute por mandar a fabricar una cantidad dada de producto en vez de lo que se consideraba como costo de pedido en los modelos previos. Teniendo en cuenta esto, tenemos que el Costo total en un período está dado por:
De la misma forma como hemos trabajado, calculamos la función de Costo Total en un período prolongado, por ejemplo anualmente, y tendremos que:
Asimismo procedemos a determinar la cantidad óptima Q* a partir de la función CTA, para esto derivamos, igualamos a cero y despejamos la variable señalada. Esto es:
Este modelo considera los mismos supuesto que el modelo EOQ Sin faltante, en lo único que difiere es que éste SI admite faltantes. En este caso se supone que el productor no puede abastecer completamente a la demanda en un período específico de tiempo, y para esto pide una extensión del plazo a los consumidores mientras se vuelve a abastecer (llenar el inventario), si este último acepta la prórroga de la entrega de su mercancia, debemos actuar bajo los preceptos del Modelo EOQ Con Faltantes.
A continuación se muestra la interpretación gráfica de este modelo.
A este tipo de Modelo se atribuyen costos igualmente por adquisición, por pedidos, por inventario, pero además de ellos también se entra a considerar un costo por faltantes denotado como Cf. No obstante, en la gráfica se aprecia que despejar todo en función de la cantidad Q no es la manera más apropiada para hallar la función de Costos de un pedido en un período, para esto se debe trabajar en función de las variables Q y S, tenemos que la función está dada por:
Donde Imáx es el inventario máximo en un solo período. Así mismo, a partir de la gráfica podemos deducir las siguientes relaciones:
Teniendo en cuenta lo anterior, reemplazamos en la función de costos de un pedido obteniendo:
Asimismo, multiplicando esta expresión por N podemos determinar el Costo total en un tiempo prolongado, por ejemplo anual. Esto es:
Como lo que verdaderamente nos interesa es encontrar las cantidades de Q y S óptimas (las que generen los costos mínimos en cada caso), debemos determinar a partir de las derivadas parciales de cada variable independiente igualada a cero, un sistema de ecuaciones para hallarlas en dicho escenario óptimo. Tendremos que:
Desarrollando (2) con (2Q^2) como mínimo común denominador, así como Q y (Q-S) de (1) de nos queda:
Reemplazando Q y (Q-S) en (3) podemos despejar nuestra S óptima, la cual está dada por:
Reemplazando la S* hallada podemos calcular nuestra Q óptima, dada por:
<<MODELO EOQ CON DESCUENTOS POR CANTIDADES>>
Hasta este momento se han analizado los costos en que se incurre por pedir o por producir con una demanda constante, ya sea permitiendo o no faltantes en nuestros parámetros de inventario; asumiendo además que para el caso de producir la rata de producción debe ser mayor que la demanda del período. Esto dejando a un lado el efecto del costo unitario que se mantiene fijo en el tiempo y no varía si hay alguna modificación en la cantidad a pedir o producir. Dicho efecto no debe dejarse a un lado, ya que muchas empresas trabajan bajo este criterio, siempre, cuando se varía el nivel de pedido habrá un descuento adicional sobre el costo del mismo. Es por esto que a continuación se hablará acerca del Modelo EOQ con Descuento por Cantidades. Para ello se palnteará la siguiente situación.
Suponga que una empresa informática se dedica a la venta de computadores y actualmente no cuenta con un modelo de inventario óptimo. En estos momentos trata de determinar cómo minimizar los costos anuales relacionados con la compra de tarjetas de video para los computadores. Cada vez que se hace un pedido se incurre en un costo de $20. El precio de las taretas depende del número pedido de ellas. Si el costo anual de almacenamiento es de 20% del valor de inventario y la empresa demanda 80 tarjetas al mes, ¿cuál es la cantidad óptima de pedido? ¿cuál es el Costo Total Anual mínimo? ¿Cuál es la cantidad óptima anual? y ¿cuál es el período por pedido según las cantidades anuales?
Este tipo de situación es común cuando se compra al por mayor, para esto se debe analizar según los parámetros del modelo EOQ.
La siguiente tabla muestra los descuentos según el volumen pedido:
A partir de lo anterior se analizan las cantidades óptimas por pedido (se asume que no se aceptan faltantes) para cada descuento, siempre y cuando se tenga en cuenta lo siguiente:
- La cantidad óptima de pedido será aquella que, al momento de calcular las cantidades a partir del modelo adecuado y según los costos unitarios de cada descuento, este valor se halle dentro del rango de cantidades especificado (en la tabla, la primera columna). Caso contrario, si dicho valor no se encuentra en su rango especificado, se dice que No Cumple para el período, y la cantidad óptima será el valor más cercano a su límite de especificación.
Los datos conocidos son:
Cp = $20/pedido
Cmi = 20% Cu
d = 80 tarj/mes * 12meses/1año = 960 tajertas/año
Así, se procede en primera instancia a calcular las cantidades óptimas para cada rango especificado en la tabla, esto es:
Los comentarios en paréntesis están relacionados al criterio antes señalado, y nos permite concluir que la cantidad óptima de pedido en un período es de 139 tarjetas de video.
No obstante, no siempre la cantidad óptima de pedido para un período representa la cantidad que minimiza los Costos Totales Anuales. Recordemos que la cantidad óptima de pedido sólo permite que los costos de pedir y de mantener en inventario sean iguales, y si el costo unitario es constante, esta llega a ser la cantidad adecuada para optimizar. Pero, en esta situación, la variación de los costos unitarios generan un segundo enfoque, ya que dependerá principalmente de la relación cantidad-precio unitario. Con base en ello debe resolver la función CTA para las tres cantidades óptimas optenidas anteriormente. Esto es:
Así tendremos que:
A partir de los resultados obtenidos, podrmos apreciar que el Costo Total Anual mínimo es el incurrido cuando se toman pedidos de 300 tarjetas y es de $9766,00.
Por otro lado, analizando el comportamiento de los costos nos podemos dar cuenta que:
- A medida que se pide una cantidad mayor la diferencia entre los costos de pedir y de mantener en inventario es cada vez más grande, siendo los costos de mantener por obvias razones la que aumente y de pedir el que disminuye.
Finalmente, conociendo la Cantidad óptima anual, podemos determinar el período para cuando son más de un pedido. Así tendremos que:
Como se pudo apreciar, el modelo de EOQ con Descuentos por Cantidades representa una herramienta útil cuando existe un porcentaje de reducción en el costo unitario de los artículos que se ordenan. Análogamente al EOQ con y sin faltantes, se manejan los mismos parámetros de evaluación, la diferencia radica en que se debe hacer un análisis para cada uno de los precios unitarios especificados por el proveedor tanto para establecer la cantidad óptima en un pedido, como para establecer la cantidad óptima anual y los Costos Totales Anuales mínimos, siendo los últimos los más representativos para cualquier organización.
El punto de Reorden r es un factor que sirve para garantizar que el de inventario manejado por la empresa en el almacen satisfaga el nivel de servicio al cliente. Para esto se debe tener en cuenta un Stock o inventario de seguridad dado por un factor estocàstico definido como:
Donde sigma t representa la desviación estándar del producto en el tiempo de entrega o:
Cuando no se conoce la desviaión del tiempo de entrega, o no son iguales los períodos dados de la demanda y del tiempo de entrega, se resuelve diviendo ambos períodos como se mostró en la anterior ecuación.
Este ùltimo se usa para cubrir las variaciones en la demanda, ademàs de prever situaciones tales como: faltas del proveedor, mal manejo de materiales, etc. Además de ello representan niveles de inventario que cubran la variabilidad de la demanda, así como ajustar las demás variables de manera que se vuelvan irrelevantes. A pesar de ello, la mayor incertidumbre es causada por los clientes debido a que sus requerimientos son difíciles de predecir.
La fórmula de Punto de reorden se muestra a continuación:
A partir de los siguientes parámetros estocástico de la demanda de focos, una empresa decide definir un Punto de Reorden adecuado para cumplir con los requerimientos de sus clientes.
La demanda en 1 semana presenta una distribución gaussiana de media 154 focos/semana y desviación estándar de 25 Focos/semana.
En primera instancia calculamos el EOQ con la demanda semanal promedio 154 focos. Entonces tendremos que:
No obstante, hay que tener en cuenta que estas unidades sólo suplen la media de la demanda, es decir el percentil de 50%. Pero ello quiere decir que no tendremos existencias para suplir aquellas que superen el valor medio.
El director de Operaciones de la empresa sugiere la política de permitir que sólo fallen en 1 pedido. Entonces debemos determinar el número de pedidos ideal. Esto es:
Ahora, considerando la política optada tendremos que el nivel de significancia será:
La empresa debe encargar a su proveedor cada vez que haya sólo 195 unidades en almacen.
REFERENCIAS
(1) HILLIER, Frederick S., LIEBERMAN, Gerald J. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: McGraw-Hill, 2002. Teoría de Inventarios: Páginas 935-987.
(2) TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: Prentice Hall, 2004. Modelos Determinísticos de Inventario. Páginas 429-440.
(3) GONZÁLEZ, Medardo. Clases Presenciales: Modelos de Inventario. Investigación de Operaciones II. Universidad del Atlántico. Febrero de 2011.
