Investigación de Operaciones II: 03/20/11

Hasta este momento se han analizado los costos en que se incurre por pedir o por producir con una demanda constante, ya sea permitiendo o no faltantes en nuestros parámetros de inventario; asumiendo además que para el caso de producir la rata de producción debe ser mayor que la demanda del período. Esto dejando a un lado el efecto del costo unitario que se mantiene fijo en el tiempo y no varía si hay alguna modificación en la cantidad a pedir o producir. Dicho efecto no debe dejarse a un lado, ya que muchas empresas trabajan bajo este criterio, siempre, cuando se varía el nivel de pedido habrá un descuento adicional sobre el costo del mismo. Es por esto que a continuación se hablará acerca del Modelo EOQ con Descuento por Cantidades. Para ello se palnteará la siguiente situación.

Suponga que una empresa informática se dedica a la venta de computadores y actualmente no cuenta con un modelo de inventario óptimo. En estos momentos trata de determinar cómo minimizar los costos anuales relacionados con la compra de tarjetas de video para los computadores. Cada vez que se hace un pedido se incurre en un costo de $20. El precio de las taretas depende del número pedido de ellas. Si el costo anual de almacenamiento es de 20% del valor de inventario y la empresa demanda 80 tarjetas al mes, ¿cuál es la cantidad óptima de pedido? ¿cuál es el Costo Total Anual mínimo? ¿Cuál es la cantidad óptima anual? y ¿cuál es el período por pedido según las cantidades anuales?

Este tipo de situación es común cuando se compra al por mayor, para esto se debe analizar según los parámetros del modelo EOQ.

La siguiente tabla muestra los descuentos según el volumen pedido:

A partir de lo anterior se analizan las cantidades óptimas por pedido (se asume que no se aceptan faltantes) para cada descuento, siempre y cuando se tenga en cuenta lo siguiente:

- La cantidad óptima de pedido será aquella que, al momento de calcular las cantidades a partir del modelo adecuado y según los costos unitarios de cada descuento, este valor se halle dentro del rango de cantidades especificado (en la tabla, la primera columna). Caso contrario, si dicho valor no se encuentra en su rango especificado, se dice que No Cumple para el período, y la cantidad óptima será el valor más cercano a su límite de especificación.

Los datos conocidos son:

Cp = $20/pedido

Cmi = 20% Cu

d = 80 tarj/mes * 12meses/1año = 960 tajertas/año

Así, se procede en primera instancia a calcular las cantidades óptimas para cada rango especificado en la tabla, esto es:

Los comentarios en paréntesis están relacionados al criterio antes señalado, y nos permite concluir que la cantidad óptima de pedido en un período es de 139 tarjetas de video.

No obstante, no siempre la cantidad óptima de pedido para un período representa la cantidad que minimiza los Costos Totales Anuales. Recordemos que la cantidad óptima de pedido sólo permite que los costos de pedir y de mantener en inventario sean iguales, y si el costo unitario es constante, esta llega a ser la cantidad adecuada para optimizar. Pero, en esta situación, la variación de los costos unitarios generan un segundo enfoque, ya que dependerá principalmente de la relación cantidad-precio unitario. Con base en ello debe resolver la función CTA para las tres cantidades óptimas optenidas anteriormente. Esto es:

Así tendremos que:

A partir de los resultados obtenidos, podrmos apreciar que el Costo Total Anual mínimo es el incurrido cuando se toman pedidos de 300 tarjetas y es de $9766,00.

Por otro lado, analizando el comportamiento de los costos nos podemos dar cuenta que:

- A medida que se pide una cantidad mayor la diferencia entre los costos de pedir y de mantener en inventario es cada vez más grande, siendo los costos de mantener por obvias razones la que aumente y de pedir el que disminuye.

Finalmente, conociendo la Cantidad óptima anual, podemos determinar el período para cuando son más de un pedido. Así tendremos que:

Como se pudo apreciar, el modelo de EOQ con Descuentos por Cantidades representa una herramienta útil cuando existe un porcentaje de reducción en el costo unitario de los artículos que se ordenan. Análogamente al EOQ con y sin faltantes, se manejan los mismos parámetros de evaluación, la diferencia radica en que se debe hacer un análisis para cada uno de los precios unitarios especificados por el proveedor tanto para establecer la cantidad óptima en un pedido, como para establecer la cantidad óptima anual y los Costos Totales Anuales mínimos, siendo los últimos los más representativos para cualquier organización.

REFERENCIAS

(1) HILLIER, Frederick S., LIEBERMAN, Gerald J. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: McGraw-Hill, 2002. Teoría de Inventarios: Páginas 935-987.

(2) TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: Prentice Hall, 2004. Modelos Determinísticos de Inventario. Páginas 429-440.

(3) GONZÁLEZ, Medardo. Clases Presenciales: Modelos de Inventario. Investigación de Operaciones II. Universidad del Atlántico. Febrero de 2011.

Para este caso se manejan los mismo parámetros establecidos en el modelo de LEP sin faltantes, entre ellos se debe cumplir que la rata de producción (R) sea mayor que la demanda (D), además de incluir un costo por los artículos o unidades faltantes en los costos totales. Además de ello, se debe considerar dos nuevos períodos que son el perído desde que se agota el inventario y empieza haber faltantes y otro que se considera como el tiempo en que se nivelan dichos faltantes. A continuación se muestra el gráfico que ilustra lo dicho anteriormente:

Donde:

R: rata o radio de producción
d: Demanda del período
t1: Período de producción hasta el inventario máximo
t2: Período en que la demanda consume el inventario máximo
t3: Período en se comienza a incurrir en pedidos en espera
t4: Período en que se sustentan todos los pedidos atrasados del período anterior

Teniendo en cuenta esto, nuestra función de costos para un período es:

Siendo Cf el costo por faltantes.

A partir de la gráfica antes señalada se obtienen por relación de triángulos las siguientes ecuaciones

Teniendo en cuenta esto, se deben expresar los Costos totales en función de las variables conocidas, es decir, Q y S. Utilizando este sistema de ecuaciones tendremos que:

Despejando t3 y t4 de (3) y (4), y posteriormente sumándolas tendremos que:

Ahora, si se considera que:

Entonces despejando la suma de t1 más t2, nos quedará que:

Siendo t1 igual a:

Con este lograremos deducir Imáx:

Con base en esto podemos deducir la siguiente Función de Costos por período:

De la misma forma como en los modelos anteriores proseguimos con la determinación del Costo Total anual multiplicando la expresión por N, esto es:

Lo importante sería optimizar la función para determinar cuales serían nuestas cantidades óptimas a producir y cual sería el nivel tanto de inventarios como de faltantes que nos proporcionarían los Costos mínimos en un período dado. Con base en este análisis, y teniendo en cuenta que la función de Costos depende de Q y S. Para ello primero consideramos la derivada parcial con respecto a S así: