Estrategias Aleatorizadas

Los juegos con estrategias aleatorizadas no poseen puntos de silla, esto quiere decir que para cualquier decisión de estrategias hay un jugador que puede beneficiarse cambiando estrategia unilateralmente. De hecho estos son mucho más frecuentes en la práctica.

En este juego se deben determinar las estrategias óptimas y el valor de este juego. Para ello se debe ampliar el número de estrategias posibles, es decir, se permitirá que un jugador opte por estrategias concretas en una proporción determinada de casos, que llamaremos probabilidades. A esto se conoce como Estrategias aleatorizadas o mixtas. Para alcanzar el valor del juego existen varios procedimientos que sirven para su estimación, entre ellos el método gráfico o en caso de ser un sistema más complejo podremos utilizar el Método Simplex.

Ejemplo:

Se plantea la siguiente matriz de pagos, en la cual el jugador 1 tiene una probabilidad de 3/4 de escoger la estrategia I y de 1/4 de escoger la estrategia 2. Además, el jugador 2, tendrá probabilidades de 1/3 y 2/3 para las estrategias I y II, respectivamente, para este.

Para asegurar la aleatoriedad de la decisión tomada por cada jugador, puede simularse la utilización de una ruleta por parte de ellos. Por ejemplo en el caso del jugador 2, esto es:

Esto quiere decir que, en cualquier momento que le toque al jugador 2 su turno, este tendrá que hacer girar la ruleta y según donde caiga la flecha escogerá su estrategia.

Por otro lado, para encontrar el valor esperado del juego se debe proceder de la siguiente forma:

Primero. Se determina el valor esperado para cada una de las estrategias de cualquiera de los dos jugadores esto es:

Lo que se resume en que si el jugador 2 escoge atacar con la estrategia 1, estará dispuesto a ganar 2, mientras que si decide jugar con la estrategia 2, este perderá siempre 1/4.

Así como el anterior, también pueden variarse las probabilidades y escogerse las probabilidades cualesquiera que sean y de esta manera determinar el valor del juego para cada estrategia.

No obstante, el comportamieto del juego está caracterizado por la determinación de las probabilidades que maximizan a cada jugador sus posibilidades de ganar. Si en caso tal dicho valor es encontrado por ambos jugadores, siempre habrá un empate. Esto se resolverá a partir del método gráfica de la siguiente forma.

Para estrategia I. Se sabe que la suma de las probabilidades es igual a 1, por lo que:

Para la estrategia 2. Igual que para uno se determinan los mismo parámetros. Esto es:

Ahora trazamos la gráfica de ambas rectas sobre un plano que tendrá como ejes el valor esperado y la probabilidad P1 esto es:

Como se puede apreciar el punto de probabilidad P1 que maximiza las ganancias del jugador 2, está entre 0.5 y 0.6. Para determinar exactamente este valor, debe resolver el sistema de ecuación compuesto por las funciones determinadas de valor esperado para ambas estrategias de dicho jugador. Entonces tendremos que:

Resolviendo por cualquier método de resolución de ecuación se obtiene que:

Y a partir de la ley de probabilidades entonces:

El valor esperado del Juego se conseguirá sólo reemplazando el valor de P1 en cualquiera de las expresiones denotadas anteriormente. Esto es:

Esto quiere decir que, si ambos jugadores determinan las probabilidades de acciones de cada uno de sus estrategias, ambos tendran la posibilidad de ganar 13/11. Esto representará entonces un juego equilibrado.




REFERENCIAS

(1) HILLIER, Frederick; LIEBERMAN, Gerald. Teoría de Juegos. Investigación de Operaciones. Edición Séptima: Mc Graw-Hill, 2002. Páginas 726-743.

(1) TUROCY, Theodore. STENGEL Bernhard. Game Theory. London School of Economy. [PDF] [En línea] {Disponible en: http://www.cdam.lse.ac.uk/Reports/Files/cdam-2001-09.pdf } [Acceso: Junio 3 de 2011]